Figurez-vous, l'autre jour, j'étais chez le boulanger. Devant moi, une petite fille qui, l'air très sérieux, demande : "Je voudrais 7/3 de baguette, s'il vous plaît!". Le boulanger, un peu décontenancé (et moi, intérieurement mort de rire, avouons-le!), lui répond : "Euh... ma petite, ça fait combien de baguettes entières et combien de 'morceaux' ?". C'est là que j'ai réalisé à quel point, même dans la vie de tous les jours, on utilise l'idée d'encadrer une fraction entre deux entiers !
Et c'est justement de ça qu'on va parler aujourd'hui: comment dompter ces fractions rebelles et les ranger sagement entre deux nombres entiers qui se tiennent la main. C'est parti!
Qu'est-ce qu'encadrer une fraction, au juste?
Encadrer une fraction, c'est comme lui trouver un appartement douillet entre deux numéros de rue. On cherche deux nombres entiers consécutifs (des nombres qui se suivent, comme 3 et 4, ou 12 et 13) tels que la fraction se situe entre eux. En gros, on veut trouver le nombre entier juste en dessous de la fraction, et le nombre entier juste au-dessus. Simple, non ?
Par exemple, si on prend la fraction 5/2, on sait qu'elle se situe entre 2 et 3, parce que :
- 5/2 = 2.5 (oui, j'ai osé utiliser un nombre à virgule!)
- 2 < 2.5 < 3 (2 est plus petit que 2.5, qui lui-même est plus petit que 3)
On dit alors que 5/2 est encadrée par les entiers 2 et 3.
Mais comment faire quand la fraction n'est pas aussi simple, et qu'on n'a pas de calculatrice sous la main ? Pas de panique, on a des astuces !
Méthode 1 : La division (et le quotient !)
La méthode la plus directe, c'est de faire la division euclidienne (celle avec le quotient et le reste, vous vous souvenez ?). On divise le numérateur (le nombre du haut) par le dénominateur (le nombre du bas). Le quotient de cette division, c'est l'entier juste en dessous de la fraction !
Prenons un exemple : encadrons la fraction 17/5.
- On divise 17 par 5 : 17 ÷ 5 = 3 (quotient) et il reste 2 (reste).
- Le quotient est 3, donc on sait que 17/5 est entre 3 et un autre nombre entier.
- Pour trouver l'entier suivant, on ajoute 1 au quotient : 3 + 1 = 4.
- Conclusion : 3 < 17/5 < 4.
Et voilà ! On a encadré notre fraction grâce à la division. (Oui, la division, ce truc qui vous paraissait inutile à l'école... bah, elle sert ! 😉)
Pourquoi ça marche ?
Parce que la division nous dit combien de fois le dénominateur "rentre" entièrement dans le numérateur. Dans notre exemple, 5 "rentre" 3 fois entièrement dans 17, et il reste un petit bout (le reste). Donc 17/5 est plus grand que 3, mais plus petit que 4.
Méthode 2 : La décomposition de la fraction
Une autre méthode, un peu plus astucieuse, consiste à décomposer la fraction en une somme d'un nombre entier et d'une fraction plus petite que 1.
Reprenons notre exemple de 17/5. On cherche à écrire 17/5 sous la forme : Un entier + Une fraction < 1
- On cherche le multiple de 5 le plus proche de 17, mais plus petit que 17. C'est 15 (parce que 5 x 3 = 15).
- On écrit : 17/5 = 15/5 + 2/5 (parce que 15 + 2 = 17)
- On simplifie 15/5 : 15/5 = 3
- Donc 17/5 = 3 + 2/5
On sait que 2/5 est plus petit que 1 (parce que le numérateur est plus petit que le dénominateur). Donc 17/5 est égal à 3 plus un petit bout, ce qui veut dire qu'il est entre 3 et 4 !
On retrouve bien notre encadrement : 3 < 17/5 < 4.
Cette méthode est particulièrement utile quand on a des fractions un peu plus compliquées, ou quand on veut éviter de faire une division posée.
Cas particuliers et pièges à éviter
Attention à quelques cas particuliers, pour ne pas tomber dans les pièges tendus par les fractions sournoises !
- Fractions négatives : Pour les fractions négatives, il faut faire attention à l'ordre des nombres. Par exemple, -5/2 est entre -3 et -2, parce que -3 < -5/2 < -2. (N'oubliez pas, sur une droite numérique, plus on va vers la gauche, plus le nombre est petit !)
- Fractions supérieures à 10/10, 100/100 : Certaines fractions donnent un résultat supérieur à 1. Dans ce cas, il est préférable de les simplifier pour les rendre plus faciles à manier.
- Fractions déjà entières : Si la fraction est déjà un nombre entier (par exemple 6/3 = 2), alors l'encadrement est trivial : 2 < 2 < 3. (Bon, ok, c'est un peu bête, mais autant le préciser !)
Entraînement : A vous de jouer !
Maintenant, c'est à votre tour de vous entraîner. Voici quelques fractions à encadrer. N'hésitez pas à utiliser les deux méthodes qu'on a vues, pour voir celle que vous préférez (ou celle qui vous semble la plus facile pour chaque fraction) !
- 9/4
- 23/7
- 11/3
- 31/10
- -7/2
- -13/5
(Les réponses sont en bas de l'article, mais essayez de les trouver par vous-même d'abord !)
En conclusion, encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs, c'est une compétence utile, pas seulement en maths, mais aussi... chez le boulanger ! Avec un peu d'entraînement, vous deviendrez des pros de l'encadrement de fractions, et plus rien ne vous arrêtera ! (Sauf peut-être les croissants... mais c'est une autre histoire 😉)
Réponses aux exercices :
- 9/4 : 2 < 9/4 < 3
- 23/7 : 3 < 23/7 < 4
- 11/3 : 3 < 11/3 < 4
- 31/10 : 3 < 31/10 < 4
- -7/2 : -4 < -7/2 < -3
- -13/5 : -3 < -13/5 < -2
